Что такое знание?

Знаете ли вы, сколько будет 3 умножить на 5?
А сколько будет 17 умножить на 199?
А сколько будет 1828 умножить на 9292?
Что насчёт 200358678920239505 умножить на 4596928785828235?

Скорее всего, вы умеете умножать числа. И если дать вам немного времени, вы сможете ответить на каждый из этих вопросов, несмотря на то, что с самого начала ответ «отсутствует» у вас в голове. Узнали ли вы что-то новое? До вычисления вы не знали ответа на эти вопроса, а спустя время вы его узнали, правильно?

А можете ли вспомнить дату какого-нибудь исторического события? Может, вы помните, что оно было раньше, чем А, но после Б… В ходе логического рассуждения вы можете узнать точный год, которого, казалось бы, вы не знали до этого. Верно? И всё-таки вам кажется, что умножение чисел более надежное, чем вывод правильной исторической даты. А вдруг вы неправильно вспомнили года событий А и Б? А вдруг вы ошиблись, перемножая числа в столбик?

А помните это чувство, когда название фильма вылетает из головы? Или название песни? Или имя того самого режиссера? Ну вот же, почти-почти! Оно прямо крутится где-то перед вами, но вы не можете его вспомнить. А через 20 минут название внезапно придёт на ум, но будет уже поздно. Так знаете ли вы это название? Или вы его не знаете, а потом внезапно узнаёте?

А вы знаете, что такое дружба? Что такое смерть? Что такое счастье? Что такое электричество? Что такое вакуум? Что такое число 5? Вы вообще что-нибудь знаете?

Вернемся к математике. Человек, который узнал аксиомы евклидовой геометрии, теоретически, может доказать любую теорему из евклидовой геометрии, которую когда-либо кто-либо доказывал. Так как геометрию проходят в школу, практически каждый образованный человек может доказать все существующие теоремы из геометрии. А если дать побольше времени, можно доказать также и ещё недоказанные теоремы. При должной сноровке это можно сделать даже в уме (опять же, теоретически!)

Сможете ли вы придумать определение группы, если вы никогда не слышали о группах? А определение алгебры Ли? А определение производного функтора? Сможете ли вы создать новые разделы математики, о которых вы не знали раньше? Казалось бы, математики всё время создают новые разделы математики, опираясь на уже имеющиеся. Возможно и вы выведете теорию дифференциальных уравнений и научитесь считать когомологии групп, опираясь лишь на школьную математику. А потом пойдёте дальше и создадите теории, которые ещё никому неизвестны.

Мне кажется, что математика отличается от всех остальных видов деятельности (даже от философии). Математика полностью дедуктивна, и новые утверждения выводятся из аксиом. В каком-то смысле, вся математика спрятана в аксиомах и правилах вывода. Все теоремы, все утверждения хранятся в небольшом наборе правил, из которых всё следует.

В физике, химии или биологии нужно проводить эксперименты. И вообще, это изучение окружающего нас мира, поэтому оно неизбежно зависит от мира, в котором мы живём. Но верно ли это для математики? Ведь математику можно выводить без опоры на окружающий мир.

Но это тоже неправда! Математика, которую мы знаем, возникла в головах у людей, которые живут в окружающем мире. Возможно, просто бессмысленно вопрошать, существует ли математика вне мира.

Так можем ли мы вывести всю математику в наших головах? Многие идеи пришли в математику из физики. Дифференциальные уравнения, случайные матрицы или многообразия Калаби-Яу. Можно ли до них дойти изнутри математики? Видимо, да. И в то же время это заставляет задуматься о вопросах, которыми люди занимаются в математике.

Возможно, люди начали интересоваться числами, когда считали количество собранных плодов, а потом каких-нибудь овец в загоне. Можно ли было придти к самому понятию числа, если бы не было окружающего мира? А что насчёт следующего комикса?

Перевод https://xkcd.com

Может быть, из каких-нибудь базовых принципов можно смоделировать всю Вселенную, в которой будут находиться плоды и овцы, которые приведут нас к понятию числа? Опять же, рассуждая теоретически.

Мы ничего не знаем? Или мы знаем всё?

Как я полюбил математику

В середине одиннадцатого класса мой интерес к школе пропал окончательно. Я выписал из журнала оценки по всем предметам и посчитал по формуле, на какие предметы я могу больше никогда не ходить и всё равно получить четверку в аттестат. Напротив этих предметов я написал НАСРАТЬ и больше не посещал эти уроки в школе.

Я не любил всё, что связано со школой. В частности, математику.

Зачем подставлять какие-то числа в формулу дискриминанта, а потом подставлять дискриминант ещё в одну формулу, чтобы получить ещё какую-то пару чисел, которую от меня требовал учитель? Я не понимал, что я делаю. Я даже не понимал, что я нахожу корни квадратного уравнения. Для меня это была подстановка чисел для получения оценок. Эдакое упражнение на внимательность. И я не понимал теорему Виета, и никогда ей не пользовался.

Но ещё хуже было с геометрией. Там я не понимал вообще ничего. Какие-то построения, какие-то непонятные слова, и всё с какой-то непонятной целью. Я запомнил теорему Пифагора и мог подставлять в неё числа, но я понятия не имел, как решать все остальные задачи, в которых чисел не было. Я мог посчитать угол через скалярное произведение, но не мог понять, что какие-то углы в окружности в два раза больше других, и вытащить из этого факта информацию ещё про какой-то угол.

Во время обучения в школе я ни разу не видел математического доказательства. Я не знал доказательства теоремы Пифагора. Я вообще ничего никогда не доказывал в школе. Культура математического доказательства прошла мимо меня. Когда я закончил школу, я знал, что в математике есть формулы, в которые можно подставлять числа. Других вещей в математике я не понимал.

А ещё я никогда не участвовал в математических олимпиадах. Я не ходил в математические кружки, не решал интересные задачи и не ездил на сборы. Я не писал в конце решения задачи ЧТД и вообще не знал, что какие-то школьники могут заниматься олимпиадами серьёзно, ездить на всероссийские олимпиады, а потом поступать по олимпиадах в лучшие ВУЗы России (и мира).

Кстати, и в никакой ВУЗ я не хотел идти. Чтобы успокоить маму, я сходил с ней в ближайший к моему дому ВУЗ (Политехнический университет), мне сказали, что меня с моими баллами точно возьмут, поэтому я подал в него оригиналы документов. Больше я никуда не подавал. О том, что я поступил, я узнал во время путешествия автостопом по России в Самаре с компьютера хостов с каучсерфинга. Важным событием это для меня не было.

Я думал, что устроюсь на работу программистом. Накоплю денег, съеду от родителей, куплю военный билет, и буду жить без проклятого ВУЗа и очередных лет бесполезного образования. Я помню, как сидел в торговом центре и искал вакансии на телефоне, чтобы поскорее устроиться на какую-нибудь работу и не ходить в ВУЗ. Но с работой что-то не срослось, поэтому я начал ходить на пары, чтобы сохранить стипендию.

И там оказалась она — Математика.

Она была спрятана под нелепой строчкой в расписании История алгебры и геометрии (лекция) Рыбков М. В. Это был курс общей математики, который охватывал системы линейных уравнений, аналитическую геометрию, пределы, производные, интегралы и кучу других случайных тем. Но это было не главное. Курс с этим дурацким названием вёл молодой математик Михаил Рыбков (ВК, инстаграм), который решил не читать материал монотонным скучным голосом, а действительно объяснять утверждения и их доказательства. В этот момент всё и изменилось.

Это была первая лекция по математике. Мы начали с комплексных чисел. Мы дали определение комплексных чисел, потом научились их складывать и умножать. Потом мы записали их в тригонометрической записи. А потом мы записали формулу возведения в степень Муавра. После этого преподаватель сказал: а теперь мы докажем эту формулу.

Я услышал стук своего сердца.

Докажем? Мы не будем верить написанному результату, а докажем его? Я сам смогу проверить каждый шаг доказательства и понять, что написанное — правда? Я сам являюсь мерилом своей уверенности в истинности утверждения? Меня снесло волной новых ощущений, нового опыта, философского переживания. Я словно прикоснулся к истине. Это было нечто.

Я вернулся домой и скачал книги по философии и истории математики: Клайн, Рассел, Стиллвелл — я читал в запой одну за другой. Всё это время возле меня существовало целое измерение, о котором я даже не подозревал. Доступное и недоступное, всеобъемлющее и умозрительное, сакральное и тривиальное.

Всё изменилось.

Дальше всё было просто: я начал всё больше разговаривать с Михаилом Рыбковым о математике, перевёлся в институт математики в СФУ (в Красноярске), начал заниматься теорией целых функций, перевёлся на матфак Вышки в Москву, начал заниматься случайными матрицами, закончил Вышку с красным дипломом, поступил в аспирантуру в Стэнфорд и начал изучать теорию чисел. Этим я сейчас и занимаюсь.

Один инициативный и амбициозный преподаватель, который решил внести жизнь в преподаваемый им предмет смог полностью изменить мою жизнь. В личных разговорах с ним я узнал о жизни математиков, об их работе и карьере, и о том, что этот математический мир — не за горами, он доступен и реален. И он ждёт меня. Спасибо, Михаил!

После того, как я начал заниматься математикой, я полюбил понимать. Мне стало интересно разбираться, понимать и осознавать разные вещи в математике и вне неё. Я стал интересоваться всеми школьными предметами только после окончания школы. И теперь я очень жалею, что мои родители не перевели меня в хорошую школу, в которой я мог бы научиться физике, химии, биологии, литературе, истории, и всему-всему-всему другому, что меня теперь так интересует, но на что у меня теперь так мало времени.

“Ошибки учителей не столь заметны, но в конечном счете они обходятся не менее дорого.”

Пожалуйста, если вы преподаете (любой предмет!), внесите в свое занятие душу. Ваш пример, ваше увлечение, ваше небезразличное отношение может задеть одного из ваших учеников, и вы можете преобразить чью-то жизнь к лучшему. Даже курс с идиотским названием “История алгебры и геометрии” в группе инженеров-программистов Политехнического университета Красноярска может коренным образом изменить чью-то жизнь. Мой пример показывает, что это возможно. Спасибо.

Шекспир и инварианты

Есть такая шутка:

От Эйнштейна мы знаем, что E = mc^2.
От Пифагора мы знаем, что c^2 = a^2 + b^2.
Следовательно, E = m(a^2+b^2).

Студенты часто привыкают к обозначениям настолько, что не могут решать задачи, если не переведут их в привычный им вид. Например, решение квадратного уравнения cx^2 + ax + b = 0 может вызвать головную боль у школьников, потому что дискриминант будет равен не b^2 — 4ac, как они привыкли, а a^2 — 4bc. А если мы попросим решить ba^2 + ca + x = 0 в терминах «a», школьник вообще может сойти с ума.

Но и математики не ушли далеко. Когда они обсуждают спектр кольца, они часто обозначают его точки за x \in X для психологического удобства, потому что теперь это не просто идеалы, а точки в топологическом пространстве, а пространства часто обозначаются как X. Точно так же для удобства в теории Фурье используются греческие буквы для трансформированных координат вместо латинских. Ну и последовательность \epsilon_n отрицательных целых чисел, сходящаяся к минус бесконечности, может пошатать нервы математика.

Вообще, удивительно, что π — это просто буква греческого алфавита. Представьте, что вместо π мы писали бы букву щ? Длина окружности радиуса р равна 2щр. Наверное, так видят формулы современные греки. Но π уже настолько ассоциируется с отношением длины окружности к диаметру, что стала возможна такая шутка: чему равно следующее произведение синусов?

sin α sin β sin γ … sin ω = ?

Правильный ответ: нулю! Потому что среди множителей есть sin π = 0.

Недавно меня попросили проверить работы студентов, и один студент зачеркнул f(x) и написал вместо этого y (игрек), видимо, потому что привык к таким обозначениям. И я не смог удержаться от комментария…

«Запах розы инвариантен при переименованиях» — Уильям Шекспир

Я могу вылететь из Стэнфорда

Я завалил квалификационные испытания по алгебре и анализу, которые проходили в начале апреля. Пересдача будет в сентябре. Если я не сдам их в сентябре — меня турнут из Стэнфорда.

Стэнфордский университет, кампус
Не хотелось бы покидать такое прекрасное место

Почему я их завалил? Потому что мало готовился и много развлекался. Я взял театральный курс, который занимал больше шести часов в неделю, часто ездил в Сан-Франциско на свидания и вообще был слишком самоуверенным без хорошей на то причины.

Формально, нормальной математикой я стал заниматься только после перевода на третий курс матфака вышки — меньше трёх лет назад. До этого я учился в СФУ в Красноярске, где мне забивали голову однотипным дифференциальными уравнениями и бесконечными интегралами. После двух лет обучения в СФУ я даже не знал, что такое группа, кольцо или гомоморфизм.

По-хорошему меня не должны были переводить на матфак, потому что я был просто-напросто не подготовлен. Но мне повезло.

После перевода я стал поспешно заполнять пробелы в знаниях, попутно занимаясь теорией случайных матриц. Таким образом, к концу обучения на матфаке я прошёл только самый минимум базовой программы, и никогда не брал продвинутых курсов. Тем не менее, я решил попробовать подать документы в Стэнфорд, и меня взяли.

По-хорошему меня не должны были брать в Стэнфорд, потому что я был просто-напросто не подготовлен. Но мне повезло.

После поступления в Стэнфорд я начал заполнять оставшиеся пробелы в знаниях, попутно наслаждаясь теплой погодой. Я начал ходить в театр, бегать и всячески развлекаться, и это сыграло со мной злую шутку. Я не выделил достаточно времени на подготовку, и поэтому завалил квалификационные испытания.

Моя мама всегда мне говорила, что на своих ошибках учатся только дураки.

Тем не менее, я очень часто совершаю ошибки и стараюсь извлекать из них уроки. Поэтому в новой четверти я серьёзно ограничил себя в деятельности и убрал многие проекты из своего списка. Я отказался от работы в медицинском технологическом стартапе, перестал бегать, учить языки, и вообще стал более вдумчиво планировать своё время.

До сентября я буду больше заниматься математикой, чтобы не оказаться в дураках. А это публичное высказывание будет служить для меня дополнительной мотивацией. Вот так.

Ты вообще занимаешься математикой?

В общем, уже не в первый раз меня упрекнули в том, что я совсем не занимаюсь математикой. Оно и понятно —  я о ней не пишу в блоге или телеграм канале и редко разговариваю о ней с нематематиками.

Так вот, математикой я занимаюсь. И занимаюсь ей больше, чем всем остальным вместе взятым. Математика настолько доминирует в моей жизни, что она для меня и жена, и девушка, и любовница и подруга одновременно.

Всю зимнюю четверть я готовился к квалификационным испытаниям (или просто кволы) в Стэнфорде. Это обязательные для всех экзамены по алгебре и действительному анализу. Задания прошлых лет можно посмотреть здесь.

Сами экзамены не очень сложные, но они покрывают очень много тем, поэтому к ним нужно хорошо подготовиться. Поэтому во время зимней четверти я взял курс алгебры Рави Вакиля и курс анализа Рафа Маззео. В целом, курс алгебры покрывал начала алгебраической геометрии и теории представлений, а курс анализа — Фурье и функциональный анализ (Банаховы пространства, пространства Соболева, фредгольмовы операторы, всё это).

Ещё я пытался взять курс по дифференциальной топологии, но у меня на него не хватило времени. В целом, он покрывал случайные главы из книжек Lee по многообразиям.

Помимо этого я ходил на курсы по подготовке к кволам, которые читали два стэнфордских старшекурсника. На них каждую неделю мы разбирали задачи из предыдущих кволов на выбранную тему. Мне эти занятия не показались слишком полезными, поэтому на вторую половину я практически не ходил.

Когда я готовился к алгебре, мне посоветовали книжку Atiyah, Macdonald “Introduction to Commutative Algebra”, и эта книжка оказалась одной из лучших книг, которые я читал по математике. Аккуратно, четко и по делу она разбирает основные понятия из коммутативной алгебры, а в заданиях оставляет очень много важных теорем с очень точными указаниями, которых достаточно для решения, но они не делают задачу тривиальной.

Это мне напомнило мою подготовку к экзамену по алгебре, когда я переводился с Политехнического университета в Сибирский Федеральный Университет в институт математики. Я спросил у преподавателя, по какой книге мне лучше готовиться, и мне посоветовали “Курс высшей алгебры” Куроша. Так вот, книга Куроша — это старое говно. Эта рекомендация испортила всё мое впечатление от алгебры, и я весь первый год думал, что алгебра — это отвратительный и скучный предмет в отличие от какого-нибудь комплексного анализа.

Если бы мне в тот момент посоветовали книжку “Курс алгебры” Винберга, возможно, всё моё математическое образование ускорилось бы в пять раз. А так как мне её не посоветовали, определение группы, кольца и поля я узнал перед переводом на третий курс матфака Вышки. Это, конечно, кошмар (чтобы сохранить свой стиль я избежал слова, которое хотел написать. Заканчивается на “-издец”.)

В весенней четверти я взял два курса по теории чисел. Один по теории полей классов с Ричардом Тейлором, а другой по мультипликативной теории чисел с Саундом Каннаном. Я хочу посмотреть на теорию чисел с двух сторон, чтобы понять, что мне больше нравится. С Ричардом мы будем читать “Local Fields” by Serre, а с Саундом “Multiplicative Number Theory” by Davenport. Обе книжки я сегодня взял в библиотеке.

В Красноярске я занимался комплексным анализом, а в Москве — случайными матрицами. Я никогда не брал хороших курсов по алгебре, теории чисел или алгебраической геометрии, поэтому я был бесконечно далёк от всей этой тематики. Но я решил сменить свою область в сторону теории чисел. Из-за этого прыжка я ещё не начал заниматься никаким ресерчем. Мне нужно выучить много стандартного материала из алгебраической геометрии, теории чисел, гомологической алгебры и всего такого, чтобы только понять формулировку вопроса.

В начале года я встретился с Ричардом Тейлором и спросил его, может ли он дать мне какую-нибудь задачу по теории чисел. Он спросил меня, знаю ли я А. Я не знал. Он спросил, знаю ли я Б. Я тоже не знал. Тогда он улыбнулся и сказал, что он не сможет сформулировать задачу так, чтобы я её понял.

Собственно, это то, чем я сейчас и занимаюсь: пытаюсь понять Тейлора.